Корректными считаются оба варианта: как с предлогом, так и без предлога. Название дома моды можно писать латиницей без кавычек или кириллицей в кавычках.

Правильно: нельзя забывать свое прошлое.

Вы почти правы. Слово странный было образовано в старославянском языке  с  помощью  суффикса -н- от слова страна в значении 'чужая страна, народ'. Т. е. первоначально странный означало 'чужестранный, чужой', затем — 'необыкновенный, непостижимый, странный'. В современном русском языке смысловая и, соответственно, структурная связь между словом страна, которое теперь означает 'государство' или 'местность, территория', и странный утрачена. В слове странный выделяется корень -странн-. Однако орфография хранит следы происхождения слова.

Официальное название первого искусственного спутника – ПС-1 (простейший спутник – 1). В соответствии с международной системой регистрации космических объектов в рамках международной организации КОСПАР в 1957–1962 гг. космические объекты обозначались годом запуска с добавлением буквы греческого алфавита, соответствующей порядковому номеру запуска в данном году, и арабской цифры – номера орбитального объекта в зависимости от его яркости или степени научной значимости. Так, 1957α2 – обозначение первого советского искусственного спутника, запущенного в 1957 г. См. сайт Федерального космического агентства и статью «Искусственные спутники Земли» в Большой советской энциклопедии.

Сочетание космическая эра может быть написано с прописной буквы, если ему приписывается особый высокий смысл.

Возможны варианты: заплатить штраф, налог и уплатить штраф, налог.

Запятая не нужна. Здесь нет сравниваемых понятий.

Запятая нужна для разделения главной и придаточной частей сложного предложения. Связываются части союзным словом как. Оно имеет значение 'каким образом' и синтаксически связано с глаголом уберечь.

В слове чертеж -еж – суффикс.

Дробные числительные употребляются с существительными в форме единственного числа: 8,3 килограмма.

Да, это 2-е склонение (по академической грамматике).