Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова, а также «Толково-словообразовательному словарю» Т. Ф. Ефремовой, слово балерун употребляется в разговорной речи с оттенком шутливости или иронии.

Так как слово кабинет уже фиксируется словарями в значении 'орган власти в государстве; то же, что правительство или его часть', 'состав министров, входящих в правительство' и при этом как усеченное официальное название пока не используется (ср. Дума наряду с Государственная дума), корректно написание со строчной буквы, если в тексте фраза воспринимается однозначно: В этом году будет сформирован кабинет. Если же возникает двусмысленность, то лучше использовать полное название Кабинет министров. 

Как указано в «Справочнике по пунктуации», в сочетании что (,) если обычно ставится запятая, но на практике встречаются примеры оформления этого сочетания без запятой. Поскольку рассматриваемое сочетание представляет собой частицу, к тому же близкую по смыслу частице а ну как, отсутствие запятой в сочетании нельзя считать ошибкой. Постановка запятой в этом сочетании обусловлена, вероятно, тем, что местоимение что содержит в себе «следы» грамматической основы, сравним: Что будет, если?...; Что было бы, если?....

Определить, в каком падеже стоит слово – в винительном или в родительном, поможет мама. Вместо слова, которое вызывает затруднение, подставляем слово мама. У него формы винительного и родительного падежей различаются: Р. п. – нет  мамы, а В. п. – вижу маму. Подставляем: пугают путников – пугают маму. Винительный падеж. 

Да, здесь ошибка. Соединительная гласная - О, Е (шубОмания). Гласная А может встречаться в словах с греческими (и вообще иноязычными) начальными радиксоидами (мегАфон, гексАгональный, пентАграмма и т. д.). 

Корректно: В Антарктиду доставили самолетом двадцать четыре полярника. В конструкциях с составными числительными, оканчивающимися на два, три, четыре, винительный падеж сохраняет форму именительного независимо от категории одушевленности.

Лучше: в связи с переменой местожительства.

Правильно: зал Чайковского, в зале Чайковского.

Оба варианта в этом случае корректны.