Верно: работает в кассе. В данном случае лучше: работает в кассе банка.
Кавычки не требуются: хрущевская оттепель.
Варианты пошли и пойдем различаются стилистически. Пойдем – общеупотребительный, нейтральный вариант; пошли – разговорный, допустимый в непринужденной речи.
Корректно: мы Грицюки.
Это не устаревшее слово. Оно используется в документах.
Орфографически корректно: тревелог. Но лучше перевести это слово: путевой очерк.
Кавычки не требуются. Слово пробиться в значении "после долгих усилий достичь хорошего общественного положения" зафиксировано в словарях.
Общеупотребительный вариант: полька. В разговорной речи допустимо: полячка.
Да, всё верно. Дефис здесь не нужен. Здесь по – предлог, а родственному – прилагательное, относящееся к существительному обычаю. А вот наречие по-родственному писалось бы через дефис (нас встретили по-родственному).
О районе правильно: живет в Выхине (строгая литературная норма) и живет в Выхино. Предлог на используется, если речь идет о станции метро, ср.: живет на «Бабушкинской».
