Предлог благодаря употребляется со значением "вследствие" или "при помощи". Деепричастие соотносится по значению с глаголом благодарить. Кроме этого, различается грамматическая сочетаемость. Ср.: Сдал экзамен благодаря (чему) феноменальной памяти;  Зрители хлопали, благодаря (кого) артиста.

Обстоятельство иногда в принципе может быть отнесено как к обеим частям, соединенным союзом да (здесь он имеет значение «и»), так и только к первой из них. Впрочем, во втором случае логично было бы ожидать в начале второй части какое-либо другое обстоятельство, например: Иногда над головой пролетала с пугливым кряканьем утка, да постоянно слышно было, как...

Здравствуйте, Антон! Уж простите, но в тексте Вашего письма достаточно ошибок, которые не позволяют разглядеть в Вас тонкого знатока русского языка. Например: тавтология ввиду обстоятельств, сложившихся против моего желания ввиду нахождения; ошибка в согласовании деепричастного оборота Посмотрев результаты ОГЭ, мне не хватило; прописная буква в этикетной формуле С Уважением.

О фразе эмоции дополняют моменты вне контекста судить не слишком просто, однако полагаем, что в ней содержится ошибка как лексической сочетаемости (дополнять друг друга могут вещи одного порядка: например, холодное не может дополнять синее), так и ошибка грамматическая (неясно, кто кого дополняет).

Вопрос о принципах составления заданий ЕГЭ следует адресовать не нам. Но все же попробуем вступиться за авторов теста.

Необходимо различать морфемный разбор слова на синхронном уровне (в современном языке) и этимологический анализ. Исторически – да, в слове огурец мог быть выделен суффикс -ец. Но в современном русском языке слово огурец непроизводно (оно не образовано ни от какого другого русского слова с помощью суффикса -ец), его основа нечленима на синхронном уровне, и корень этого слова – огурец. Ср.: слово столица когда-то было образовано от слова стол, но в современном русском языке значение слова столица не может быть объяснено через значение слова стол, следовательно, они не связаны отношениями производности, поэтому в слове столица мы выделяем корень столиц-.

По-видимому, составители задания хотели проверить у учеников знание морфонологических чередований в словообразовании: при образовании слова огурчик от слова огурец происходит, во-первых, выпадение гласного, а во-вторых, чередование Ц – Ч, и в слове огурчик следует выделить не суффикс -чик, как это кажется на первый взгляд, а суффикс -ик.

Варианты различаются по значению. Д. Э. Розенталь в справочнике «Управление в русском языке» указывает: помнить кого-что 'сохранять в памяти в полном объеме'; помнить о ком-чем 'в общем виде, без подробностей'. Поэтому лучше, пожалуй: помнит Вас.

Вот самая свежая фиксация в академическом орфографическом словаре на ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН:

альпа́к, -а и альпа́ка, -и, род. мн. -ов и альпа́к [изменено, ср. РОС 2012: альпака́, нескл., м. и ж. (животное) и с. (шерсть, ткань)]

Таким образом, словарь признал, что слово это стало склоняемым, а ударение в нем падает на вторую а. В других словарях пока еще можно встретить старую рекомендацию не склонять это слово и произносить альпака́, но этот вариант стремительно уходит из языка.

В задании предлагается составить и записать словосочетания с каждым именем прилагательным и подходящим по смыслу именем существительным из скобок.

Задание:

Дождево́й, дождли́вый (утро, зонт).

Ответ:

Дождевой зонт, дождливое утро.

Словосочетание дождевой зонт вполне корректно, ср.:

Среди комнаты стоял Владимир Лютов в длинной, по щиколотки, ночной рубахе, стоял, держа гитару за конец грифа, и, опираясь на нее, как на дождевой зонт, покачивался (М. Горький).

Он подкидывал вверх пустую пивную бутылку, потом <…> играл сразу тремя различными предметами — веером, деревянной сигарой и дождевым зонтом (А. Куприн).

Спасибо за замечание! Ответ исправлен.