Употребление слова конник корректно. Оно зафиксировано в словарях русского литературного языка со значением 'спортсмен, занимающийся конным спортом'.
Знаки препинания расставлены верно.
Запятая не нужна.
Фамилия Шота склоняется: Александра Шоты.
Да, см. «Учебник Грамоты».
Кавычки не нужны. Значение глагола бить 'наносить поражение, побеждать; одерживать верх над кем-либо в чём-либо (обычно во время военных действий, спортивных состязаний, игр и т. п.)' зафиксировано словарями русского языка, оно не является необычным, непривычным и не требует постановки кавычек.
См. в "Справочнике по пунктуации". В приведенном примере запятую лучше не ставить.
Если ударение падает на окончание (Черныша, Чернышу...), то форма творительного падежа: Чернышом. Если ударение не падает на окончание (Черныша, Чернышу...), то форма творительного падежа: Чернышем.
Правильно: выпить на брудершафт.
Да, можно.
