Корректно: страны — участницы БРИКС, страны БРИКС.
Эти написания не регулируются правилами, они словарные. Но в «Русском орфографическом словаре» есть только слово стартап. Не следует думать, что правила в орфографии существуют на все случаи жизни, тем более это касается новейших заимствований. Пока что вполне возможны и слитное, и дефисное написания: сетап, попап и сет-ап, поп-ап.
При оформлении эпиграфа указание на переводчика текста приводится в сноске.
В слове «шишек» (мн. ч., р.п.) нулевое окончание.
Да, название написано правильно.
Здесь действует орфографическое правило: двойное н пишется в словах с беглым е между нн, напр.: беспрестанный (беспрестанен), благоуханный (-нен), блаженный (-жен и -женен), искренний (-нен), склонный (-нен), откровенный (-нен), почтенный (-нен).
Корректно: ГБОУ «СОШ № 7 г. Сунжа им. С. Хашагульгова».
Корректно дефисное написание: рентген-операционная.
