Увы, мы не знаем, что именно было прописано в ключах к Вашему варианту. 

Это имя собственное не склоняется, поэтому в данном случае правильно «двое Отелло», но это не слишком симпатичное употребление.

Вы оформили прямую речь правильно. См. примечание 2 к параграфу 148 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя.

В таком изолированно взятом предложении тире не требуется. Возможно, в определенном контексте будут уместны иные пунктуационные решения.

Да, это склоняемая фамилия. Правильно: Семерни, Семерне и т. д.

Да, верно. В сказке «Колобок» это слово используется в двух разных контекстах. В первом случае, когда говорится о том, что кто-то испёк колобок и положил его на окно, слово «колобок» употребляется в своём прямом значении — шарообразное изделие из теста. В этом контексте слово «колобок» пишется со строчной буквы, так как оно не является именем собственным, а обозначает обычный предмет. Во втором случае, когда говорится о том, что Колобок катится по улице, слово «Колобок» уже используется как имя собственное. Это персонаж сказки, который обладает своим характером, историей и судьбой. В этом контексте слово «Колобок» пишется с прописной буквы, так как оно является именем персонажа, а не просто обозначением предмета.

Кавычуки нужны при наличии родового слова. Например: ГБУЗ "Клиника Николаевская". 

Правильно: буду на буяровской даче. 

Действительно, сочетание в День России является пояснением по отношению к сочетанию 12 июня. Именно поэтому его нужно выделить запятыми, как указано в справочниках, например в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Этот закон обычно называют законом языковой/речевой экономии или законом экономии речевых усилий / языковых средств. Примером его действия могут служить, например, аббревиатуры, эллипсис (опускание ясного по смыслу члена предложения: Я пойду на экзамен сегодня, а моя сестра завтра), субстанцивация прилагательных (например, мастеровой, полицейский, столовая), заимствования, помогающие кратко назвать предмет, явление или действие, которые ранее можно было охарактеризовать лишь описательно (например, лайкать, хайп) и т. п. Разумеется, приведенные Вами примеры тоже свидетельствуют о действии этого закона: чтоб, хоть, прям и т. п.