Словарями литературного языка данное слово не фиксируется ни в одном из написаний. Орфографически закономерен второй вариант.
Правильно: Совмин. Нормы русской орфографии не допускают слитные написания с одной прописной буквой в середине слова.
Можно использовать оба варианта, но в одном тексте нужно выбрать какой-то один, чтобы не было разнобоя.
Скорее всего, просто неудачное название. Кстати, слово фитнес пишется с одной буквой С на конце слова.
О значении слов можно узнать в нашем электронном толково-словообразовательном словаре (окно «Искать на Грамоте»).
Причина выбора падежа одна: рекомендации словарей и справочников. Иными словами, выбор падежной формы объясняется исключительно традицией.
Верно (если об одном и том же говорится разными словами): прямой обмен, или так называемый бартер.
Возможны варианты: и. о. директора (разные исполняющие обязанности директора одной организации), и. о. директоров (разных организаций).
Исторически это объясняется тем, что одна из двух Н принадлежит корню (как и в слове именной).
Шестидесятые годы и в шестидесятых годах – об одном и том же периоде (с 1960 по 1969).
