Такое написание соответствует правилу: пишутся слитно существительные, образованные от пишущихся через дефис собственных имен (состоящих из двух частей с начальными прописными буквами). В основном это названия жителей городов и государств.
Правильно: сетях.
Правильно: гамаш.
Учитель – существительное 2-го склонения (по школьной грамматике). Это слово мужского рода с нулевым окончанием.
Орфографически верно: городская дума. Однако в официальных текстах нередко можно встретить такое написание: Московская городская Дума. Оно принято в официальных документах, хотя противоречит орфографическим нормам.
Нет, кавычки не нужны.
См. ответ на вопрос № 281278.
Орфографически верно: джипинг (т. к. есть слово джип). Обоснование см. в ответе на вопрос № 262066.
Трудности вызывает только форма родительного падежа мн. числа. Правильно: (нет) носков (и некоторыми словарями уже допускается вариант носок); чулок; килограммов (и в счетной форме, т. е. в сочетании с числительным, – килограмм).
Слова колея и колесо этимологически родственные (колея буквально – 'след от колес'). Но в современном русском языке эти слова однокоренными не являются.
