Корректно слитное написание: правомонархический.
Если есть необходимость сохранить именно такую конструкцию, следует использовать висячий дефис только в усеченном слове: сохранение взаимоуважения и -выручки.
Знаки расставлены верно.
Верно: в Донбассе.
Пояснительный оборот в конце предложения отделяется тире: Тогда она себе дала милое прозвище — Мара.
Да, верно: надпись по-латыни.
В данном случае слово эпиляция выступает в роли именительного темы. По правилам в такой конструкции можно поставить либо точку, либо двоеточие: Эпиляция. Как навсегда избавиться от нежелательных волос и Эпиляция: как навсегда избавиться от нежелательных волос. Тире стоит неверно.
В орфографическом словаре – тоже с прописной: север, -а и (полярные и приполярные территории, Арктика) Север, -а; Крайний Север; Европейский Север, Кольский Север, Обский Север, Тюменский Север; Война Севера и Юга (в США, ист.).
В «Искать на Грамоте» есть и слово «строчной» (в скобках указана разница).
Современная рекомендация: несо́лоно хлеба́вши.
