Поскольку прямая речь в этом предложении играет роль приложения при существительном призыв, верно без двоеточия: ...воплотивших призыв Петрова «Все выходим на связь!» — и тем самым отчитавшихся о...

Это причастие от глагола играть в значении ‘сверкать, отражаясь в чём-либо, от чего-либо’. Как прилагательное слово играющий выступает в сочетаниях типа играющий тренер, играющий актер (актер основного состава).

Слова обнимашки, целовашки склоняются: обнимашек, целовашек (ср. вкусняшка – вкусняшек). Пожелать кому-либо много обнимашек можно, грамматической ошибки здесь нет, но надо иметь в виду, что эти словечки – обнимашки, целовашки, из той же серии ванильки, мимими (лингвист Максим Кронгауз называет эти языковые явления «новой сентиментальностью», пришедшей на смену «аффтарам» и «падонкам») нравятся далеко не всем, а некоторых носителей языка уже начинают раздражать.

И все же стилистические оценки следует давать, основываясь на рекомендациях современных словарей.

Большой толковый словарь

ФОТО, неизм.; ср. Разг.
=Фотография (2 зн.). Старинные ф. Взять ф. в рамку. Чьё это ф.? - Моей матери.

В предложении, которое Вы предлагаете нам разобрать, присутствует такое явление, как эллипсис (пропуск слова, члена предложения). Именно к пропущенному слову "игр" и относится определение "компьютерных".

Да, всё верно (если курицу варили в соусе с грибами, т. е. слова в соусе с грибами относятся к причастию варенная). Но надо иметь в виду, что возможен и вариант курица варёная в соусе с грибами (если курицу не варили в соусе с грибами, а, например, подали в соусе с грибами, т. е. если соус и грибы не имеют отношения к процессу варки).

В приведенных примерах отсутствие кавычек оправданно. Обычно не выделяется кавычками прямая речь, если нет точного указания, кому она принадлежит (это Ваш первый пример); если она приводится в таком виде, который может иметь и косвенная речь с этим же лексическим составом. При этом слова, указывающие на источник сообщения, в периодической печати могут выделяться одними запятыми, без тире (как в последнем Вашем примере).

Оба варианта допустимы, но следует иметь в виду их смысловые различия. В первом случае, как представляется, описывается гипотетическое, потенциальное развитие событий (если еще и сказуемое выражено сочетанием с глаголом могут), а во втором — описание объективировано, представляет ситуацию как реальную, что прежде всего объясняется присутствием слова реализация. Впрочем, более широкий контекст может вносить уточнения и в первый, и во второй вариант.  

В сочетании со словом проведение слово руководство воспринимается как обозначение процесса, отсюда желание использовать форму тв. падежа: руководство (чем?) проведением. Ср.: взять на себя руководство поисковыми работами, доверить кому-либо руководство институтом. Слово руководство в значении 'руководители' сочетается с формами род. падежа наименований организаций: руководство (чего?) Союза писателей, театра, института. Поэтому о руководителях лучше сказать: руководство конкурса. Смысл выражения при его сокращении сохраняется.