Если имеется в виду государственное учреждение, то верно: агентство по спорту.
Правильно: По дорогам русской армии в Семилетней войне (1756–1763 гг.).
Если имеется в виду половина квартиры, верно: предоставляю 1/2 долю квартиры, находящейся по адресу...
Правильно: Приказ довести до лиц, указанных в приказе, под подпись. Обособляется определительный оборот, стоящий после определяемого слова. Обратите внимание, что в этом значении правильно употреблять слово подпись.
Этот вопрос хорошо бы задать составителям. Вообще самым правильным было бы выделить оба варианта как допустимые. Да, когда-то вариант ржавЕть, заржавЕть не разрешался. Например, в словаре «Русское литературное произношение и ударение» под ред. Р. И. Аванесова и С. И. Ожегова (1959) указывалось: ржАветь (не ржавЕть), заржАветь (не заржавЕть). Но это было более полувека назад. И хотя некоторые носители языка (особенно те, кто пользуется старыми словарями) до сих пор убеждены, что ржавЕть, заржавЕть – ошибка, этот вариант уже не одно десятилетие считается нормой. В словарях современного русского языка варианты ржАветь и ржавЕть, заржАветь и заржавЕть даются как равноправные, а в некоторых изданиях ударение ржавЕть, заржавЕть даже считается предпочтительным.
Корректно написание со строчных букв. Верно: средневековЫй.
Лучше: программы по уходу за лицом.
Указанная запятая не требуется.
Лучше: вошло.
Правильно: план чего-либо (в разных значениях).
