В подписи к фотографии тире ставить не нужно. Здесь применимо правило об отсутствии тире в предложениях со сказуемым-числительным, которое записывается цифрами.

Правилен второй вариант. Название песни является приложением с слову название, в конце предложения нужно поставить точку.

Запятая возможна при желании сделать в предложении два акцента — на создании подписи и на цели ее создания. 

Проверяемыми или непроверяемыми чаще называют гласные буквы, которыми обозначаются редуцированные гласные звуки, то есть звуки, меняющие свое качество в безударной позиции и поэтому вызывающие затруднения у пишущих. Букву э проверять нужно (например, этно́граф — э́тнос, первую гласную в слове экономист можно проверить словами с побочным ударением экосистема, экоконтроль). 

Буквы у, ю, ы обычно в проверке не нуждаются: звук [у] обычно не меняет качество (изменяется только долгота), звук [ы] меняет, но вызывает затруднения редко.

Название Лобня в сочетании с родовым словом город склоняется: жители города Лобни. 

Если название филиала не склонять, то его нужно писать в кавычках. Но если все сочетание выступает как единое название организации и кавычки в нем не употребляются, то второй компонент нужно поставить в ту же форму, что и первый: поручено Рыбинскому филиалу АО «Воентелеком» – 190 центральному ремонтному заводу средств связи.

Избыточности у сочетания нет. Слово мир указывает на то, что речь идет о странах целого мира, а не отдельных его частей. Ср.: страны Европы, страны Африки, страны Ближнего Востока...

Слово объект, будучи неодушевленным существительным, может сочетаться с количественным числительным (например: два, три, четыре) и не может сочетаться с собирательным (например: двое, трое, четверо). Подробнее о сочетаемости с числительными см. в «Письмовнике».

Оба варианта грамматически корректны, но имеют разное значение. 

В первом варианте слово количество относится к слову указание: с указанием чего? — количества. Но при таком употреблении возникает двусмысленность: грамматически словоформу количества можно отнести и к срокам: сроков чего? — проведения и количества. Полагаем, что связи между словами должны быть понятны по смыслу, но можно предотвратить грамматическую неоднозначность, переставив местами компоненты предложения: с указанием количества кандидатур и сроков проведения. 

Второй вариант правилен, если слово количество относится к слову информация: информация о чем? — о программах... и количестве кандидатур. 

Закрепилось управление покупка по предоплате. В этом сочетании предлог по имеет словарное значение 'посредством чего-либо'.