Оба варианта корректны, однако есть нюансы в значении. Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается двум равноправным субъектам. Форма единственного числа указывает на то, что подлежащим является только слово мама, а слово ребенком выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия (т. е. ребенка ведут гулять, он в данном случае не является самостоятельным субъектом действия).
Верно: Проведенные занятия по образовательным программам, (каким?) согласованным...
Следует писать со строчной.
Корректно раздельное написание. См. словарную статью в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».
Корректно: в целях обеспечения. Желательно избежать созвучия: обеспечения сопровождения.
Конечно, из Кореи. См. ответ на вопрос №312593.
Некоторые признаки иноязычного происхождения слов приведены в учебнике русского языка Е. И. Литневской. Найти иноязычные слова проще всего в словаре иноязычной лексики, например на портале «Словари.ру».
Да, существует и зафиксировано в словаре.
Правильно: Кремлевская стена (в Москве). О стене в других городах: кремлевская стена.
Словарной фиксации нет, лучше писать через дефис.
