Запятая не ставится, поскольку слово например входит в состав обособленного оборота.
В русской орфографии сегодня не произошло изменений. Слова Интернет и карате в таком написании фиксировались и раньше.
Частица ка употребляется после глаголов в форме 1-го лица ед. и мн. числа буд. времени изъяв. наклонения. В первом случае она выражает обращенное к себе побуждение к действию, напр.: Или нет, расскажу-ка я вам лучше, как я женился (Тургенев И. С. Гамлет Щигровского уезда). Во втором употребляется для устранения категоричности выражаемого глагольной формой побуждения к совместному действию говорящего и собеседника, напр.: «Пойдем-ка на пару слов, Люба», ― позвал Егор (Шукшин В. Калина красная).
Тире можно поставить. Правило таково.
Тире ставится в неполном предложении, составляющем часть сложного предложения, когда пропущенный член (обычно сказуемое) восстанавливается из предыдущей части фразы и в месте пропуска делается пауза: Ермолай стрелял, как всегда, победоносно; я — довольно плохо; Мир освещается солнцем, а человек — знанием. При отсутствии паузы в месте пропуска члена предложения тире не ставится: Егорушка долго оглядывал его, а он Егорушку; Из нашей батареи только Соленый пойдет на барже, мы же со строевой частью.
Сочетание библиотека им. А. С. Пушкина – это описательный оборот, в первом слове которого прописная буква не нужна. Однако правила орфографии допускают функционирование усеченных названий, и эта тенденция становится все более и более заметной. На наш взгляд, использование описательного оборота в качестве усеченного названия, то есть написание его с прописной буквы, допустима в официальных документах. Такую замену можно предварить комментарием: Центральная городская публичная библиотека им. А. С. Пушкина (далее – Библиотека им. А. С. Пушкина).
Если бы предложение на этом кончалось (...а потом настанет такой зимний январский день, когда валит густой снег и солнца уже давным-давно никто не видел.), запятую, разумеется мы бы не ставили. Но продолжение продолжается: ...а потом настанет такой зимний январский день, когда валит густой снег, и солнца уже давным-давно никто не видел, и, может быть, это чудо позабылось, и хорошо бы его снова вспомнить... – однородные придаточные соединены повторяющимся союзом и, поэтому между всеми ними ставятся запятые.
Предложения, по структуре точно соответствующие Вашему, в правилах не описаны. Но можно опереться на более общее правило:
«Тире ставится в неполном предложении, составляющем часть сложного предложения, когда пропущенный член (обычно сказуемое) восстанавливается из предыдущей части фразы и в месте пропуска делается пауза...
При отсутствии паузы в месте пропуска члена предложения тире не ставится...» (Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Пунктуация. § 6, п. 5).
Таким образом, тире факультативно, его постановка обусловлена интонацией.
Слово допустим действительно выступает здесь в качестве вводного, и его действительно невозможно убрать из предложения без потери смысла. Что касается частицы ну, то она может использоваться в разговорной речи во множестве функций, что демонстрирует словарная статья слова ну. Возможно, с помощью этого начального ну автор изображает речевые колебания, свойственные разговорному общению, ведь, судя по всему, он пытается быть на одной волне с читателем. Утверждать, что в приведенном тексте допущена ошибка, было бы слишком категорично.
Ко двору – в устойчивых выражениях ко двору (быть, прийтись) 'оказаться подходящим к каким-л. условиям, требованиям и т.п.; оказаться желательным' и не ко двору (быть, прийтись) 'оказаться неподходящим к каким-л. условиям, требованиям и т.п.; оказаться нежелательным'. Также: ко двору (пригласить, призвать), где двор в знач. 'монарх и его приближенные'. В других случаях – к двору, напр.: Всю осень шатался от двора к двору, надеясь пристроиться к кому-нибудь, едущему на клевера... И. Бунин, Деревня.
