Значения этих слов хорошо описаны и проиллюстрированы в толковых словарях, например в «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова. В приведенную Вами фразу нужно вставить глагол квалифицировать (характеризовать, отнести к определённой группе).

Сочетание школа третьего возраста можно использовать как описательный оборот, называющий тип организации (ср: музыкальная школа, спортивная школа), а можно как название. В первом случае все буквы строчные, во втором нужно писать с прописной слово Школа. 

Точка уместна, однако, поскольку глагол сообщать переходный (требует дополнения в винительном падеже без предлога), после сообщаем нужно добавить слово следующее. Без этого слова уместно двоеточие (часть конструкции после двоеточия будет замещать собой дополнение при глаголе).

Алгоритм прост. Нужно взять толковый словарь; если в словаре соответствующие значения относятся к разным словарным статьям, то данные слова - омонимы. Если значения объединены в одной словарной статье, то это многозначное слово. Вперед, за словарь!

Членом предложения является предложно-падежная форма целиком (в лесу), так что подчеркивать нужно и предлоги (хотя это и не принципиально). Возможно, учителя хотят подчеркнуть, что служебные части речи (предлоги) не являются членами предложения сами по себе. 

Ваш вариант пунктуации правилен, если имеется в виду категория такая же многочисленная и редко отраженная в источниках, как и другие.  Если же только эта категория обладает названными характеристиками, то после слова одной нужно поставить запятую.

В «Объяснительном русском орфографическом словаре-справочнике» Е. В. Бешенковой, О. Е. Ивановой, Л. К. Чельцовой (М., 2015) указано, что увешанный и увешенный являются синонимами в разговорной речи. В нейтральном и книжном стилях нужно использовать слово увешанный.

Полагаем, одиночную пиктограмму, используемую в качестве ответа на сообщение, не нужно сопровождать точкой. Правила сочетания различных знаков со знаком скобки приведены в соответствующих разделах справочников, например в параграфе 67 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. 

Такое написание не ошибка, но это очень недружелюбно по отношению к читателю: римскими цифрами обычно обозначают века. Читателю придется тратить дополнительные усилия, чтобы понять смысл сочетания. Не очень понятно, для чего это нужно автору текста.

По правилам координации здесь действительно нужно тире вместо дефиса: клеточные линии — продуценты рекомбинантных белков. См. пункт 1 параграфа 154 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.