В 4-м издании академического «Русского орфографического словаря» под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой (М., 2012) зафиксировано написание названия орудия в кавычках: «катюша» (в прежних изданиях словаря рекомендовалось написание без кавычек). Корректно: залп «катюши».
Название самого парка пишется без кавычек: Александровский сад. Но: станция метро «Александровский сад».
Запятая не нужна.
Предпочтительно: мысли лезут в голову девушке.
Словарной фиксации нет. Возможны варианты написания: Великий смог, «великий смог».
Запятая не требуется: Но всё же лучше таким людям оставаться в памяти.
Правильно: Уеду в отпуск, но ненадолго.
Верно: в Республике Дагестан.
Наречие примерно, как и другие наречия, может обособляться, только если выступает в роли присоединительного члена предложения, то есть такого, который содержит дополнительные разъяснения или замечания, вводимые в середину или в конец предложения, и выделяется интонационно. Ср.: Это произошло примерно десять лет назад и ...В США грань бедности ― это, примерно, 25% населения (А. Д. Сахаров).
Случаи, когда написание, принятое в официальных документах, отличается от зафиксированного в словарях русского языка, не редкость. Академический «Русский орфографический словарь» (4-е изд. М., 2012) фиксирует слитное написание: особоохраняемый.
