Такие слова называются грамматическими дублетами. Их исчерпывающего списка не существует.

В деловых письмах обычно используется форма первого лица множественного числа (сообщаем). Подробнее см. в "Письмовнике".

Наименования самостоятельных подразделений образовательных организаций (институтов, колледжей и т. п.), как правило, пишутся с прописной буквы. Однако в каждом конкретном случае требуется уточнять написание в уставе соответствующей организации.

В этом предложении глагол-связка "есть" факультативен. Подробно об употреблении глаголов связок см. в "Русской грамматике" (§ 1955 и связанные с ним параграфы). Адрес в Интернете: www.rusgram.narod.ru

О выражении доброй ночи см. ответ на вопрос № 256612.

Если всё перечисленное — закрепившиеся названия (официальные или неофициальные), то Вы написали верно. Кавычки в названиях не нужны. Уточненное на современном материале правило написания топонимов можно прочитать в журнале «Вопросы ономастики». 

Приведенная Вами фраза ничем не напоминает заголовок, состоящий из двух частей. Быть может, так: 24 ноября несколько сотен солдат из мотострелковых войск переданы (куда, кому, зачем?)?

Ключом к пониманию значения термина нанотехнологии является первая часть этого слова – нано. Как указывает «Толковый словарь иноязычных слов» Л. П. Крысина (М., 2005), нано... (от греческого nannos 'карликовый') – первая часть сложных терминов – названий единиц измерения, обозначающих миллиардные доли основных единиц, например, наносекунда.

Нанотехнологии можно определить как технологии производства и использования разного рода устройств, необходимых для манипуляции микроскопическими частицами вещества. Целью развития нанотехнологий является разработка на основе наночастиц материалов с уникальными характеристиками, вытекающими из микроскопических размеров их составляющих.

На официальном сайте ГК «Российская корпорация нанотехнологий» (РОСНАНО) (это российская государственная корпорация, основанная в 2007 г. для реализации государственной политики в сфере нанотехнологий) дано такое определение:

Нанотехнологии – совокупность методов и приемов, применяемых при изучении, проектировании, производстве и использовании структур, устройств и систем, включающих целенаправленный контроль и модификацию формы, размера, интеграции и взаимодействия составляющих их наномасштабных элементов (1-100 нм) для получения объектов с новыми химическими, физическими, биологическими свойствами.

Мнение о том, что пиджак — принадлежность мужского гардероба, связано с тем, что поначалу он представлял собой часть костюма, который носили исключительно мужчины. В толковом словаре под ред. Д. Н. Ушакова (1935—1940) зафиксировано такое значение слова пиджак: «принадлежность мужского костюма — род куртки с открытым отложным воротником и застегивающимися полами». Примерно то же толкование находим в ранних изданиях словаря С. И. Ожегова. Однако современные издания, в том числе «Большой академический словарь русского языка», указывают, что пиджак можно считать и женской одеждой тоже. Т. е. ошибки в употреблении сочетания женский пиджак нет. 

Вполне возможно, что ведущие передачи, настаивая на ошибочности такого сочетания, опираются на профессиональное использование слова пиджак. Например, в ГОСТ 17037-85 «Изделия швейные и трикотажные. Термины и определения» указано, что пиджак это — «швейная или трикотажная плечевая мужская или для мальчиков одежда жестко фиксированной формы с рукавами, разрезом, застежкой от верха до низа, покрывающая туловище и частично бедра». Мужской костюм, согласно этому документу, состоит из пиджака и брюк (может включать в себя жилет), а женский — из жакета и юбки.