Знаки внутри предложения расставлены правильно.
Не вполне уверены, что слово интеграция употреблено верно в данном предложении. Следует иметь в виду, что интеграция предполагает процесс, поэтому сочетание сложившаяся интеграция кажется некорректным. Если народы уже объединены с остальным обществом и занимают в нем ту или иную позицию, которую нужно сохранить, то лучше написать: при сохранении их сложившейся... роли в обществе.
В случае если процесс интеграции еще не завершен, лучше написать: ...при поддержке их... интеграции в общество.
Обычно используется вариант на гриле.
Если по контексту принципиально важно, что блюда помещали внутрь устройства, то можно написать и в гриле.
Корректно: Ты что, забыл, где ты живешь? Ты что – забыл, где ты живешь?
Корректно: Регулярность: 2–3 раза в неделю.
Правильно: «Сокол ясный — 2016».
Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.
Следует писать слитно.
Возможно и единственное, и множественное число сказуемого. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
В правилах русской пунктуации не существует понятий «длинное тире» и «среднее тире». Есть просто знак тире, его длина никак не оговаривается и обычно зависит от типа шрифта.
