У слова "третий" основа оканчивается на -j (то есть все слово - основа), а в косвенных падежах основа звучит как "третьj". Поэтому верно: третье, третья, третьего и т. д.
Подробности здесь: http://rusgram.narod.ru/1315-1341.html
Верно: Пегги - животное, которое я не забуду.
Слово много может быть числительным.
Большой толковый словарь
Да, это выражение корректно.
Верно: незаплавленный кратер.
Учитывая, что диаметр - это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, сочетание, названное Вами, плеонастично (лексически избыточно).
Если речь идет о конкретном заявлении, о верно: Она не писала заявление.
Если говорится о каком-то заявлении вообще, то верно: Она не писала заявления.
Возможны оба варианта. Если нет подчеркнутого отрицания или противопоставления, следует писать слитно.