Верен второй вариант.
Лествица – слово старославянского языка, оно происходит от общеславянского *lestva, образованного от глагола lezti с помощью суффикса -tv-. Интересно, что в словенском языке до сих пор существует слово lestva 'лестница'.
Лестница – русское слово, оно встречается в памятниках письменности с XIV века. Русское лестница возникло на базе старославянского лествица под влиянием существительных на -ниц(а), ср.: звонница, кузница и т. п. Еще более поздним образованием является слово лесенка, с корнем лес-. С вместо З в корне перед гласным звуком возникло, вероятно, под влиянием слова леса (строительные).
Корректно: вижу что-либо в окне.
Название портала "Грамота.ру" заключается в кавычки, а веб-адрес www.gramota.ru в кавычки не заключается.
В связи всегда пишется раздельно.
Правильно: В конкурсе приняла участие 21 команда.
Все названные Вами варианты верны.
Верен первый вариант, повторять предлог не нужно.