Вы правы в том, что кавычки употреблены неудачно. Если их и ставить, то закрыть нужно после фамилии. Однако при употреблении названия не в юридических документах в форме школа № 2129 имени Героя Советского Союза П.И. Романова кавычки не нужны вообще. 

Ответ департамента образования тоже верен: нормы употребления кавычек не устанавливаются законодательно. Как записали название в уставе, так и будет оно воспроизводиться во всех документах. Чтобы изменить название, нужно произвести сложные юридические действия, на это нужна добрая воля руководителя организации и его руководства. Изменение даже только кавычек в названии влечет за собой множество юридических проблем, поэтому обычно названия сохраняют в том виде, в котором они уже закреплены.

Здесь верен второй вариант. Главная часть образует с придаточной так называемое местоименно-союзное предложение: средством связи в нем служит не только союз что, но и местоименное наречие так. Сложноподчиненные предложения этого типа имеют значение степени, следствия. В нашем случае следствие из того, что Романов был встревожен и занят своими мыслями, состоит в том, что он не мог понять, который час (а не в том, что он видел стрелки на циферблате). Следовательно, союз что относится не столько к сочетанию видел стрелки на циферблате, сколько к сочетанию не мог понять. Получается, что сказуемые видел и не мог понять являются однородными, образуя одну придаточную часть (представляющую собой неполное предложение, подлежащее в котором восстанавливается из предыдущей части).

Да, раньше при переносе слов с приставками запрещалось оставлять в конце строки при приставке начальную часть корня, не составляющую слога. Сейчас правила переноса немного смягчились и такой перенос стал допустимым. Но при этом и сейчас предпочтительным признается такой перенос, при котором учитывается членение слова на значимые части. Таким образом, предпочтительный перенос: на-ступила, допустимый перенос: нас-тупила. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 217.

Все вышесказанное относится к той ситуации, когда мы считаем на- в слове наступить приставкой (наступила на пятки). Но в значении 'начаться' в слове наступить выделяется корень наступ-. В этом случае перенос нас-тупила верен: внутри корня группа согласных может быть разбита для переноса любым способом.

По правилам русской грамматики мужская фамилия Шлоссер должна склоняется, женская — нет. Приведем несколько примеров. 

...Он как бы ни был утомлен, ложась спать, читал некоторое время в постели какой‑нибудь из томов Шлоссера (Н. О. Лосский. Воспоминания: жизнь и философский путь).

А «источником» и «пособием» служила мне «История древнего мира» Шлоссера (в русском переводе под редакцией Н. Г. Чернышевского), в те годы одна из моих любимых книг, которую я много раз перечитывал (Д. Н. Овсянико-Куликовский. Воспоминания).

См. перевод статьи Франсуа Шлоссера «Буш: головокружение от могущества США» из журнала «Nouvelobs» в газ. (из журн. «Проблемы Дальнего Востока», 2002 г.).

Поначалу в Штутгарте главной темой был приезд на соревнования бразильца Густаво Куэртена и его бабушки Ольги Шлоссер, имеющей немецкие корни (из газ. 2002 г.).

В приведенных примерах следует использовать существительные в форме множественного числа.

Имя существительное, которому предшествует два или несколько определений, указывающих на разновидности предметов, ставится в форме единственного числа:

1) если существительное не употребляется в форме множественного числа;

2) если существительное во множественном числе имеет иное значение, чем в единственном;

3) если между определениями стоят противительные, разделительные или сопоставительные союзы;

4) если перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны, например, в сочетаниях терминологического характера;

5) часто, если определения выражены порядковыми числительными или местоименными прилагательными.

Имя существительное ставится в форме множественного числа:

1) если подчеркивается наличие нескольких предметов;

2) если имеется предшествующее определение в форме множественного числа;

3) если определяемое существительное стоит впереди определений.

Подробнее читайте в «Справочнике по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя.

Попробуйте начать с Ивана Сергеевича Тургенева и Льва Николаевича Толстого.

Правильно: пойдем вместе (со мной), ты пойдешь вместе со мной (во втором случае слова со мной обязательны).

1. См. в «Письмовнике». 2. Если есть противопоставление (не плохо, а хорошо) или если противопоставление подразумевается, следует писать раздельно. Если противопоставления нет, верно слитное написание.

Если заголовок набран полностью прописными буквами, тогда нет оснований, чтобы переходить на строчную букву при графическом сокращении слова.

В документах в подобных конструкциях принято ставить числительное в именительный падеж.