Если имеется в виду, что не позднее 10 числа должна быть произведена оплата (а не выставлен счет), то части предложения следует поменять местами: Оплата по настоящему Договору производится Заказчиком ежеквартально, не позднее 10 числа первого месяца расчетного квартала, авансовым платежом на основании выставленного счета.

Правильно: надевать брюки. О глаголах надеть – одеть можно прочитать во многих изданиях (в словарях трудностей, в словарях паронимов, в научно-популярных книгах, написанных лингвистами). См., например: Королёва М. А. Говорим по-русски с Мариной Королёвой. М., 2003. Об этих словах написано и в «Словаре трудностей» нашего портала.

Тире обычно не ставится, если подлежащее выражено личным местоимением, а сказуемое – формой именительного падежа существительного. Но при логическом подчеркивании тире возможно (ср. у Маяковского: Я – гражданин Советского Союза). В приведенном Вами примере вариант с тире представляется предпочтительным, т. к. здесь именно ситуация логического подчеркивания.

Написание с большой буквы корректно, если Республиканский – первое слово официального названия конкурса. Слово посвященных согласовано правильно, если имеется в виду, что 70-летию института посвящены журналистские работы. Если юбилею института посвящен сам конкурс (а работы могут быть посвящены чему угодно), верно: о Республиканском конкурсе... посвященном...

Разные рекомендации связаны с тем, что это слово, осваиваясь в языке, испытывало колебания в написании (что очень часто происходит с недавно заимствованными словами), а словарной фиксации не было. Теперь она появилась. Кол-центр – такое написание зафиксировано в 4-м издании «Русского орфографического словаря» РАН (М., 2012).

Возможны оба варианта. При этом сочетание соревнование по уборке урожая означает, что соревновались в том, кто лучше соберет урожай. А вот сочетание соревнование на уборке урожая, строго говоря, означает, что во время уборки урожая происходило какое-то соревнование (возможно, боролись за звание самой веселой бригады).

Да, употребимо. Например, у Куприна:

Подавай, говорит, собаку? Этак что же? Он и луну с неба захочет, так подавай ему и луну? Поди сюда, Арто, поди, моя собаченька. Ну, и денек сегодня задался. Удивительно! ― На что лучше! [А. И. Куприн. Белый пудель (1903)]

А какие здесь могут быть основания для написания слова уважение с большой буквы? Нарицательные существительные пишутся с прописной буквы только в контекстах, где им придается особый высокий смысл, при этом речь может идти лишь о таких словах, как Человек, Родина, Отечество, Победа и им подобных.

Синтаксическими синонимами могут быть разные типы словоформ в одинаковой синтаксической функции (по ягоды – за ягодами), разные синтаксические модели предложения (Я прочел книгу – Книга прочитана мной), а также предложения, составляющие вариативный ряд по отношению к основной модели (Мы решили – Мы приняли решение и т. д.).

Строчными буквами пишутся только очень немногие аббревиатуры, давно существующие в языке и воспринимаемые многими уже не как аббревиатуры, а как обычные слова: дот (от долговременная огневая точка), вуз, ссуз, загс (написание ЗАГС тоже правильно) и некоторые другие.  Подавляющее большинство аббревиатур пишутся прописными буквами. Правильно: ПИФ.