В словарях и справочниках (см., например, «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко) дана рекомендация склонять как существительные сложные славянские названия, являющиеся существительными, при наличии словообразовательных признаков прилагательных, например: Бяла-Подляска, Бяла-Подляски (гор., Польша); Банска-Бистрица, Банска-Бистрицы (гор., Словакия); Зелёна-Гура, Зелёна-Гуры (гор., Польша). Эта рекомендация дает основания предложить вариант музей в Моравска-Тршебове.

В учебнике представлены основные случаи постановки знаков препинания. Полное правило можно прочитать в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), см. параграф 136.

У нас нет обоснования для варианта "жить в Украине". Грамматическая норма русского языка: жить на Украине.

Запятая не нужна. Если предложение или словосочетание, заключенное в кавычки, должно было бы заканчиваться запятой, но дальше следует продолжение текста, то запятая не ставится ни перед закрывающими кавычками, ни после них.

Английское название, исполненное латиницей, в русском тексте должно быть передано в соответствии с источником, по правилам английского языка. Название же, переведенное на русский язык, следует записывать по русским правилам. 

Вопрос непростой. Если подходить к ответу исключительно формально, то следует рекомендовать не ставить тире, поскольку между подлежащим пословица и сказуемым-существительным помощница стоит дополнение всем делам. Вместе с тем этот случай отличается от иллюстрирующего правило примера Мой отец для меня друг и наставник (см. пункт 6 параграфа 15 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). В примере из справочника дополнение для меня стоит действительно между подлежащим и сказуемым, оно не связано тесно ни с тем, ни с другим; по сути это субъектный детерминант, обычная позиция которого — начало предложения, сравним: Для меня мой отец — друг и наставник. В приведенном Вами примере такое перемещение дополнения всем делам невозможно, поскольку оно связано только со сказуемым помощница, образуя с ним словосочетание. Если учесть этот факт, поставить тире вполне уместно: Пословица — всем делам помощница.

Правила, требующего не использовать кавычки при написании названий латиницей, не существует. Обычно названия, набранные латиницей, кавычками не выделяются, так как латиница — уже само по себе достаточно сильное средство выделения в кириллическом тексте. Однако исключение могут составить те случаи, когда без кавычек границы названия неясны и когда нужно оформление названий сделать единообразным. Именно последнее и можно наблюдать в приведенном нами примере: Я прочитал роман Чернышевского "Что делать?".; Я прочитал книгу Пелевина «Transhumanism Inc.». 

Да, в нашей электронной версии РОС осталось написание, которое было в 1-м печатном издании. Исправили в соответствии с 4-м изданием. Спасибо, что заметили!