Дело в том, что формы в Домодедове, Митине, Бибиреве, Сколкове отнюдь не новые, а, наоборот, старые, отвечающие строгой литературной норме. Склоняемый вариант изначально был единственно правильным, несклоняемый (в Домодедово, Митино, Бибирево, Сколково) распространился относительно недавно и пришел из речи военных и географов (возник он как раз потому, что  очень важно было давать названия в исходной форме, чтобы не было путаницы: Иванов или Иваново). В современном русском языке, действительно, допустимы оба варианта: старый (в Домодедове, в Иванове, в Бирюлеве) и новый (в Домодедово, в Иваново, в Бирюлево); если же топоним употребляется с родовым словом (город, село, район и т. п.), он не склоняется: в городе Иваново, в районе Бирюлево.

Правильно: глава района, губернатор. Прописная буква "веса" должности не добавляет.

Пишется со строчной буквы. Однако официально это не отделы, а управления (и каждое управление пишется с прописной). Структура есть на официальном сайте МВД РФ.

Не хватает запятой после районе.

Знаки препинания стоят верно.

Правильно: петушинский, петушковский. Спасибо за поздравление!

«Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010) фиксирует: Жак Ив Кусто, форма родительного падежа: Жака Ива Кусто.

Номер дома играет роль уточнения по отношению к названию улицы, поэтому его следует выделить с двух сторон: ...на улице Московской, 157, в Кировском районе. Что касается двоеточия после по адресу, то оно ставится по традиции; очевидно, элементы адреса воспринимаются как перечислительный ряд, хотя на самом деле элементы ряда не однородны: каждый из них уточняет предыдущий. Заметим, что сочетание в Кировском районе в этом случае лучше переместить: Мэр дал поручение отремонтировать тротуар в Кировском районе по адресу: ул. Московская, 157.

Корректно: Могучий Дуб, Сидящий на Реке. В именах все слова, кроме служебных, следует писать с прописной буквы, дефисы ставить не следует, ср.: Петушок со Шпорами (герой сказок), Людвиг ван Бетховен, Леонардо да Винчи.