В настоящее время литературной норме соответствуют оба варианта произношения: до[щ] и до[шть], до[жьжь]и и до[жди], ни один из них нельзя назвать неграмотным. При этом предпочтение сейчас отдается именно варианту до[шть], до[жди] (в том числе в словарях, адресованных работникам эфира), вариант до[щ], до[жьжь]и постепенно выходит из употребления.

Вы правильно пишете: актеры старой школы говорят до[щ], до[жьжь]и – это старомосковское («мхатовское») произношение. Необходимо, впрочем, отметить, что и характерное для петербургского говора произношение до[шть],  до[жди] едва ли можно назвать «новым»: о том, что такое произношение было распространено уже, по крайней мере, в первой половине прошлого века, красноречиво свидетельствует рифма «дожди – груди» в стихотворении Константина Симонова (что интересно: уроженца Петрограда) «Ты помнишь, Алеша, дороги Смоленщины» (1941). Таким образом, варианты произношения конкурировали на протяжении многих десятилетий, но к настоящему времени «орфографическое» произношение слова дождь практически вытеснило старый вариант.

Непростой вопрос. В толковых словарях фиксируется только прилагательное доказательный, для которого указывается два значения: 'содержащий очевидные доказательства, убедительный' и 'использующий, приводящий серьезные, неоспоримые доказательства (обычно в краткой форме)'. Между тем в орфографических словарях слово доказательственный фиксируется, а в речевой практике встречается как сочетание доказательная база, так и доказательственная база. Этими сочетаниями называют совокупность доказательств, совокупность данных для доказательства. Соответственно, возможны оба сочетания.

Верная пунктуация: Необоснованность отнесения преступлений к экономической и коррупционной направленности в большинстве случаев обусловлена отсутствием на момент возбуждения, а также в рамках предварительного расследования уголовного дела сведений о конкретных лицах, совершивших преступление.

Постановка запятой не требуется.

Запятая не требуется.

Написание со строчной буквы орфографически верно. Но использование большой буквы в стилистических целях в некоторых случаях возможно.

Запятая ставится между однородными членами предложения, соединенными посредством повторяющегося союза: Все выше, и выше, и выше. Между однородными членами предложения, связанными одиночным соединительным союзом, запятая не ставится: Все выше и выше.

Следует использовать форму множественного числа. Слово нобелевский в данном случае пишется с маленькой буквы: Интересно, что не только Эйнштейн, но большая часть нобелевских лауреатов, согласно исследованиям, были связаны с искусством, а именно с музыкой.

Единственно верное написание — с двумя с.