Правильно: Факультету ЛА 50 лет.
В ГОСТ Р 7.0.97-2016, на смену которому приходит данный, в приводимых примерах пробел между инициалами точно так же отсутствует. Так что принципиально нового здесь нет. Этот ГОСТ устанавливает требования к оформлению организационно-распорядительной документации. Вне сферы делопроизводства предпочтительно придерживаться традиционных правил: пробел между инициалами нужен.
Вы совершенно правы. Верный вариант: ул. Карла Маркса, д. 12, кв. 50.
В подписи к фотографии тире ставить не нужно. Здесь применимо правило об отсутствии тире в предложениях со сказуемым-числительным, которое записывается цифрами.
Запятая перед при не требуется.
Оба варианта возможны.
Следует перестроить предложение, поскольку деепричастный оборот употреблен неправильно. См. ответ № 200757.