Запятая нужна, она отделяет придаточную часть от главной. Поскольку в предложении повторяется слово так и тем самым создается так называемый подхват, лучше использовать еще и тире перед вторым так: 
Точно так, как мы верили в президента, — так и он верит новому директору.

В русском письме не каждая пауза, возникающая при чтении предложения, отмечается запятой (и наоборот: запятая может быть поставлена там, где при чтении нет паузы), потому что основной принцип русской пунктуации — грамматический (синтаксический, структурный). В приведенном примере союз и соединяет два однородных сказуемых, которые относятся к подлежащему Антон из предыдущего предложения; само это предложение с однородными сказуемыми неполное. По грамматическому принципу запятая здесь не требуется.

Запятая нужна: определение отечественный поясняет определение наш (= «наш, то есть отечественный»). В таких случаях между определениями ставится запятая.

Запятая нужна: К своему недовольству, он отметил, что верёвка действительно немного сползла. Вводная конструкция к своему недовольству указывает на эмоциональную оценку сообщения.

В подобных случаях после фамилии автора принято ставить точку и не принято заключать название произведения в кавычки (если это не цитата или что-либо подобное); данные о чтеце выделяются шрифтом: Иван Иванов, 10 лет. А. С. Пушкин. Зимнее утро.

Запятая не нужна.

Запятая нужна, верно: Помимо консультаций я веду научную деятельность в институте МГУ и интересуюсь много чем за пределами своей профессии, прямо как мои клиенты.

В этом случае запятая нужна: От балкона остался один только кирпичный цоколь, а, дабы сохранить облик фасада, вместо колонн прямо на стене изобразили соответствующие им пилястры.

Контекст указывает, что логическое ударение приходится на сказуемое краснел (оно входит в ряд однородных сказуемых), поэтому оборот с предлогом несмотря на приобретает значение попутного замечания и обособляется.

В этом случае есть основания включить сравнительный оборот в сказуемое как его именную часть при связке царила, сравним: Картина внутри царила веселая, тревожная и т. п. Аналогично: Картина внутри царила прямо как у автора в юмористическом романе...