Общелитературная норма обязывает употреблять определение в форме мужского рода: наш влюбленный детектив. Согласование по смыслу возможно в разговорной речи: наша влюбленная детектив Иванова. 

Здесь предпочтительно согласование по смыслу: Подготовлен 401 документ, из которых 208 — директору, 320 — заместителю...

Лучше так: Это одна из самых красивых машин среди тех, что я когда-либо видел.

В этом выражении верно только слитное написание отрицательного местоимения: ничто из этого. 

Единственное число не обязательно. Есть крупнейшие компании (самые крупные), ведущие компании (самые передовые) и т. д. Так что сочетание корректно.

Название Халкидики несклоняемое. Корректно: на Халкидики (ср.: на полуостров), с Халкидики, пляжи Халкидики.

Эти слова следует писать слитно (ср. аналогичные конногвардейский, конноартиллерийский).

Знаки препинания расставлены верно.

При таком строе предложения все знаки препинания расставлены верно, только в конце нужна точка.

Ваш вопрос труден, потому что приложение — вообще довольно загадочная вещь. Его трактовка как разновидности определений с теоретической точки зрения не выдерживает критики.

Однозначно можно сказать, что приложение является отдельным членом предложения, когда оно обособлено. В этом случае у приложения особая функция, отличная от функции «определяемого слова». Очень часто дополнительная функция обособленного приложения — выражение причинных отношений (Красавица и умница, Маша всегда привлекала всеобщее внимание).

Что же касается необособленных приложений (которым и посвящен вопрос), то отталкиваться нужно от того, что ключ не в неделимости сочетания, а в однофункциональности приложения и определяемого слова. Мы приехали в город: в город является обстоятельством. Мы приехали в Петербург: в Петербург является обстоятельством. Оба слова прекрасно справляются с функцией обстоятельства. Следовательно, в предложении Мы приехали в город Петербург мы имеем обстоятельство, выраженное словосочетанием с приложением. Это один член предложения. При этом никто не мешает нам указать на то, что один из компонентов распространенного обстоятельства (или другого члена предложения) представляет собой приложение по отношению к другому.

При письменном разборе мы подчеркиваем интересующее нас словосочетание как один член предложения, но надписываем над приложением «приложение» и графически показываем его зависимость от «определяемого слова». При выполнении тестов ОГЭ или ЕГЭ прежде всего анализируем постановку вопроса: предполагается или не предполагается этой постановкой особое выделение приложений.

Примечание: ответ дан с позиций университетского преподавателя. Именно этим объясняется, в частности, то, что словосочетание определяемое слово взято в кавычки: это ирония, так как очень часто невозможно решить, что является определяемым, а что — приложением (это относится и к примерам про Машу и Елену).

Возможно, специалисты по подготовке к ОГЭ/ЕГЭ, методисты и т. д. ответили бы на этот вопрос иначе. Целесообразно проконсультироваться у них.