1. Оба варианта некорректны, слово повинность лишнее. Верно: безоговорочно доверял, обязав охранять и оберегать резиденцию. 2. Верно: ...по питомцу. Какому захотите.

Корректно: Наша компания осуществляет лицензированный вывоз отходов I, III, IV классов опасности. Деятельность по сбору, транспортированию, обработке, утилизации, обезвреживанию, размещению отходов I–IV классов опасности подлежит лицензированию согласно Федеральному закону № 99-ФЗ "О лицензировании отдельных видов деятельности". Компания "Золушка" осуществляет деятельность на основании лицензии, выданной Федеральной службой по надзору в сфере природопользования: серия 78 № 00139 от 05 февраля 2016 г. (бессрочно).

Рекомендации по употреблению слов до н. э. и н. э. можно найти в «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина, Л. К. Чельцовой. Они таковы:

«Если факт относится ко времени до исход ного (начального) момента принятого у нас летосчисления, рядом с датой требуется ставить слова до н. э. (до нашей эры). Во избежание путаницы рекомендуется даты первых лет (веков) нашей эры сопровождать словами н. э. (нашей эры). Напр.: 26 февр. 747 г. до н. э.; 29 авг. 284 г. н. э.; III в. до н. э.; II в. н. э.».

Как мы видим, это именно рекомендация, причем несколько расплывчатая: «даты первых лет (веков)». Видимо, окончательное решение остается за автором текста. Полагаем, что как минимум в первых двух приведенных Вами примерах слова н. э. будут уместны: Он родился в 10 г. н. э. Прожив долгую жизнь, он умер в 88 г. н. э.

Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

В общем-то, в словарях на Яндексе такая же рекомендация: http://slovari.yandex.ru/%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C/%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5/

Словарями русского языка (см., например, «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова) уже зафиксировано слово порядка в значении 'около, приблизительно': высота – порядка ста метров. Такое употребление является разговорным, т. е. в живой устной речи оно вполне возможно.

Корректно: проводится 3 и 11 февраля. Здесь сразу за числами следует название месяца.

Правилами пунктуации такие записи не охвачены, но логика правил подсказывает, что между составными компонентами нужно ставить именно тире. Запись с тире, на наш взгляд, лучше воспринимается.