Если судить по значению, слова "в аллеях" и "с неба" ближе к обстоятельствам, чем к дополнениям. Но в школьной "формальной" грамматике достаточных оснований для четкого разграничения дополнения и обстоятельства в подобных случаях нет. Подробно о второстепенных членах предложения и их разграничении читайте здесь.

Постараемся обобщить рекомендации.

Обороты с предлогом «исходя из» обычно выделяются запятыми.

Исходя из прошлого опыта, догадываюсь, что это с плиты свалилась сковорода. В. Токарева, Будет другое лето. Исходя из этого, мы засыпаем в амбар для колхозников две с половиной тысячи центнеров. Б. Можаев, В Солдатове у Лозового. Исходя из цифр переписей, показаний свидетелей и других данных, исследователи находят, что число погибших превышало 7 миллионов человек. А. Кузнецов, Бабий Яр. Исходя из этого, ум служит единственно возможным источником наслаждения. А. Чехов, Палата № 6.

Запятые не требуются, если оборот с предлогом «исходя из» тесно связан по смыслу со сказуемым.

Мы по-прежнему пытались прогнозировать свое и общее будущее исходя из разумных посылок. Е. Гинзбург, Крутой маршрут. Проект разработан исходя из запланированной стоимости.

Обороты со словами «исходя из» не отделяются знаком препинания от предшествующего союза «а», если оборот нельзя изъять из состава предложения или переместить.

Я ведь не по восторженности отпустил тогда Ислам-бека, господин полковник, а исходя из внутренних убеждений и совести своей. Б. Васильев, Были и небыли.

Теперь касательно второго вопроса. Запятые ставить не нужно, поскольку деепричастие выступает в роли обстоятельства образа действия.

Корректно беспредложное управление: министр... Чеченской Республики.

Если это контрольная, то Вам следует самостоятельно ее выполнить.

1. Лучше: наградить почетными грамотами следующих студентов... (если имеется в виду, что каждому студенту будет вручена грамота).

2. Да, конечно, такую фамилию также нужно склонять.

Запятые в этом предложении не нужны.

Перед тире нужно поставить еще и запятую, закрывающую причастный оборот.

Форма мн. ч. сказуемого в этих примерах наиболее уместна.

Справочные пособия (см.: А. Э. Мильчин, Л. К. Чельцова. Справочник издателя и автора) рекомендуют заключать внутритекстовые авторские и издательские примечания к цитатам в круглые скобки с указанием, кому принадлежит примечание. И лишь расшифровка местоимений, когда читателю ясно, что это не часть цитаты, а примечание цитирующего и потому авторскую принадлежность указывать нет необходимости, помещается в квадратных скобках. Таким образом, корректное оформление: Условия порабощенной России куда более благоприятны (чем на Западе. – Ред.) и более способны породить духовное начало. Вы говорили, что, возможно, расстанетесь с женой, возможно, он [сын] вырастет неправославным.

Оформление внутритекстовых примечаний к цитатам аналогично оформлению вводных словосочетаний в круглых скобках: выделяемые скобками, они не нуждаются в выделении запятыми.

Современной орфографической норме соответствует написание фитнес (как указано в орфографическом словаре). Как мы уже неоднократно отмечали, расхождение в рекомендациях словарей не редкость: недавно заимствованные слова в процессе их освоения языком нередко испытывают колебания в написании, поэтому в разных словарях (и даже в разных изданиях одного и того же словаря) можно встретить неодинаковое написание. В спорных ситуациях надо ориентироваться на рекомендации того словаря, который «специализируется» на данном языковом факте, т. е., если Вы проверяете правописание слова, следует руководствоваться предписаниями орфографического словаря.