Фамилия Сорока склоняется (и мужская, и женская). Мужские фамилии Гаршнек, Шмутман склоняются, женские – нет.
Правила склонения фамилий см. в «Письмовнике».
При порядковых числительных наращение ставится, при количественных – нет. Правильно: высота потолков 2-го этажа. Подробнее см. в «Письмовнике».
Словарной фиксации нет, однако ударение на втором слоге кажется логичным (на той же гласной, что и в словах директор, дирекция).
ВДВ - несклоняемая аббревиатура, которая согласуется во мн. ч. (род, следовательно, определить невозможно, да и в этом нет практической необходимости).
Словарной фиксации нет. В заимствованных словах после букв, передающих твердый согласный звук, для обозначения звука [э] рекомендуется писать букву е.
Словарной фиксации нет, можем рекомендовать писать баттл с двумя т по аналогии со словом шаттл, которое уже внесено в словари.
Неясно, какие слова в этом предложении мог бы соединять союз и (однородных сказуемых здесь нет). Союз и здесь не нужен.
Нормативной рекомендации нет, возможны варианты написания. Отметим, что в ходе освоения такие заимствования тяготеют к слитному написанию (ср.: пикап, мейкап).
Корректно: диагноз рак (нет знаков препинания между определяемым словом и приложением); Диагноз - рак (тире ставится между подлежащим и сказуемым).
Именно потому, что смысловой разницы нет, в «Русском орфографическом словаре» РАН (4-е изд. М., 2012) было оставлено одно слово – приумножить.
