На сайте самого движения используется обозначение Первые (с прописной без кавычек). То же — на логотипе организации. При этом в уставе организации и в официальных документах пишут «Движение первых».
О принадлежности ребенка к движению можно написать нейтрально — стал участником «Движения первых». Можно так: присоединился к Первым. Эти названия совсем недавно появились в языке, поэтому будем наблюдать за их употреблением. Возможно, со временем какие-то формулировки и написания станут устойчивыми, пока же они только осваиваются языком.
См. также ответ на вопрос № 319215.
В качестве названия фильма использовано предложение. Вопрос о склонении предложения лишен каких-либо грамматических оснований. Если в лаконичном высказывании отсутствует родовое слово (фильм, картина, серия, боевик и т. п.), а название представляет собой составную конструкцию (словосочетание или предложение), то говорящий выбирает падежные формы компонентов составных названий на свое усмотрение. Фразы «Слезам» дали «Оскара», «За спичками» были в каждой библиотеке, снимался в «А зорях здесь тихих» иллюстрируют выбор авторов, склонных к употреблению разговорных выражений (см. также ответы на вопросы 313695, 314160).
Между двумя повторяющимися словами, из которых второе употреблено с отрицанием не, если сочетание этих слов образует единое смысловое целое, запятая не ставится: Болею не болею — неважно. Как указано в академической «Русской грамматике», подобные сочетания двух одинаковых форм одного и того же слова с частицей не в составе противительной конструкции обозначают «безразличие для последующего, несущественность по отношению к результату»: Отец не отец, сестра не сестра — он не посмотрит, всех за грош продаст; Дельные не дельные отдает распоряжения — приходится подчиняться.
Нет, в этом значении "проплыли" не используется.
Ударение в аббревиатурах обычно не ставят, разве что в некоторых словарях можно встретить ударения.
См. ответ на вопрос № 311104.
Двоеточие здесь не уместно. Вообще, двоеточие в простом предложении ставится всего в одной ситуации — перед рядом однородных членов после обобщающего слова. В других случаях нужны другие знаки. В приведённом тексте объявления, например, можно поставить тире.
С заглавной буквы нужно писать первое слово в названии должности в том случае, если с названия начинается предложение, в том числе подпись. Последующие слова пишутся только со строчной буквы.
Такая фраза возможна в непринужденной разговорной речи. Но не в нейтральном контексте.
Запятая нужна. Она разделит однородные сказуемые была тихая и (была) безветренная.
