Слово пара используется для обозначения двух однородных или одинаковых предметов, употребляемых вместе и составляющих одно целое: пара чулок, пара ботинок. Только это значение слова пара (применительно к одежде) является общеупотребительным и стилистически нейтральным.

Однако в разговорной речи словом пара называют предмет, состоящий из двух одинаковых, соединенных вместе частей: пара брюк, пара трусов, пара штанов (также пара ножниц и др.). Везде имеется в виду один предмет, и такое употребление не должно выходить за рамки разговорной речи.

Общеупотребительный вариант: двое трусов, двое брюк, двое штанов.

Если имеется в виду, что людей учат водить мотоцикл, то верно: обучение вождению мотоцикла.

Прежде чем – составной подчинительный союз. Запятая может быть поставлена перед союзом (перед словом «прежде») или между его частями (перед словом «чем»). Чаще союз не расчленяется, т. е. запятая ставится перед ним. Но окончательное решение – за автором текста.

Бис в нейтральном употреблении — не существительное, а междометие. Других форм у этого слова нет. Правильно: выходить на бис. 

В профессиональной речи, согласно Большому толковому словарю русского языка, бис может использоваться как существительное в значении 'повторное исполнение номера по просьбе публики'. Ударение при изменении слова остается на корне.

Корректно: перечень сведений или перечень видов информации.

Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

Слово тур в значении 'путешествие, поездка' сочетается с предлогом в.

Высокая оценка - тоже награда. Сочетание корректно.

Да, стоит.

См. в "Словаре трудностей".