Кавычки не требуются: борьба самбо, борьба дзюдо.
Как правило, в подобных именах (пишущихся через дефис) склоняется только вторая часть: у Жан-Батиста.
Правильно: 2-я, 3-го. Подробнее см. в «Письмовнике».
Слово страна-участница есть в русском литературном языке (оно зафиксировано, например, в «Русском орфографическом словаре» РАН). Но в строгом стиле письменной речи, в деловых документах даже по отношению к лицам женского пола используются существительные мужского рода (а страна – и вовсе неодушевленное существительное). Поэтому при вариативности страна-участница и страна-участник в официальных документах лучше всё же использовать форму мужского рода: страна – участник договора (если после слова участница / участник есть зависимое слово, используется не дефис, а тире).
