Флаг развЕвается.

Орфографический словарь

Большой толковый словарь

То, что в законе слова зимние и Олимпийские переставлены местами (видимо, под влиянием англ. Olympic Winter Games), вовсе не делает неправильным сочетание зимние Олимпийские игры (тем более если имеется в виду не сочинская Олимпиада, а другие соревнования, например прошедшие Игры в Ванкувере). Об Играх в Сочи: если речь идет об официальном документе и необходимо точное соответствие с формулировкой в законе, тогда верно: XXII Олимпийские зимние игры; вне такого употребления представляется целесообразным использовать традиционный для русского языка порядок слов: зимние Олимпийские игры.

Возможны варианты.

СХЕМАТИЧЕСКИЙ, -ая, -ое.
1.
Представленный в виде схемы (1 зн.). С-ое изображение телеграфного аппарата. С-ие карты.
2.
Представленный в главных, общих чертах (обычно в упрощённо-обобщённом, шаблонном виде). С-ое изложение. С. показ действительности в фильме. С. образ. < Схематически, нареч. Говоря с.
Представить с.

СХЕМАТИЧНЫЙ, -ая, -ое; -чен, -чна, -чно.
=Схематический (2 зн.). С. взгляд на проблему. Моя формула счастья довольно схематична. < Схематично, нареч. Познакомить со своим романом бегло, с. Лицо изображено весьма с. Схематичность, -и; ж. С. описания. С. пьесы.

В предложении Летом мы ремонтировали крышу дома слово дома является дополнением. Кто-то, видимо, ошибочно решил, что существительное не может управлять дополнением, а зависимое сущ. при нем всегда является несогласованным определением. На самом деле существительные вполне могут управлять дополнениями; в частности, в данном случае главное слово — крыша — обозначает часть целого, и при таких сущ. регулярно использование в качестве дополнения слова, обозначающего то целое, часть которого названа. Вот, скажем, в словосочетании ограда Летнего сада зависимый компонент действительно является несогласованным определением.

Обстоятельство места со двора во втором предложении не может быть отнесено к части сразу же послышался детский плач потому, что глагол послышаться не сочетается с обстоятельственными формами, отвечающими на вопрос откуда? — его сферу сочетаемости составляют лишь формы, отвечающие на вопрос где?, что отражено и в примерах в его словарной статье (с глаголом раздаться такие сочетания вполне допустимы, сравним пример Из открытого окна раздавались звуки рояля в словарной статье). При замене некоторых слов и форм это препятствие исчезает, сравним: Со двора раздались громкие встревоженные голоса и сразу же донесся детский плач; Во дворе раздались громкие встревоженные голоса и сразу же послышался детский плач. 

Кроме того, нельзя не отметить, что в первом из приведенных предложений глаголы-сказуемые относятся к несовершенному виду, а это указывает на одновременность обозначаемых ими ситуаций; во втором же предложении глаголы совершенного вида, что указывает на последовательность ситуаций, причинно-следственный характер отношений между ними, и это дает возможность воспринимать обстоятельство в начале предложения как относящееся только к первой части даже при замене некоторых слов и форм.

Предпочтительно: Но несмотря на то, что человек не был центром мира, древнегреческие философы все же признавали, что он обладает уникальностью. Сравним примеры из параграфа 34.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя, формально схожие с Вашим: Но мало того, что не было никогда такой неприязни, василёк с древних времён участвовал во многих красивых обрядах и празднествах (Сол.); Но прежде, чем говорить о личности офицера и его разговоре, необходимо попристальнее взглянуть на внутренность его балагана и знать хоть немного его образ жизни и занятия (Л.Т.).

Придаточные образа действия не содержат элемента сравнения, уподобления: Сыграй этот такт так (= таким образом), как играл его Рихтер. Отпиливать кусок доски нужно так (= таким образом), чтобы она в конце не обломилась.

Присоединяться они могут и союзным словом (в первом примере), и союзом.

Сравнительные придаточные могут присоединяться только сравнительными союзами. Для того, чтобы убедиться в том, что перед нами именно сравнительный союз, можно попытаться заменить его другим — тоже сравнительным — союзом. Если как можно заменить на словно или будто, то перед нами сравнительное придаточное.

На возможность оформления прямой речи без кавычек в текстах СМИ указывает Д. Э. Розенталь, см. «Справочник по русскому языку. Пунктуация», параграф 47.4.

Тире в этом случае не требуется, так как где и приобрел первые музыкальные познания - это придаточное предложение в составе сложноподчиненного, оно отделяется запятой.

Запятая и тире как единый знак препинания могут ставиться между частями бессоюзного сложного предложения, но в Вашем случае есть союзное слово где, и это правило не подходит. Для постановки сразу двух знаков препинания (запятой и тире) оснований нет.

Вы правы, ставить запятую не требуется.