Да, можно.
Возможны варианты: аннотация на что и аннотация чего. Ошибки нет.
Можно.
Да, эта фраза лексически избыточна.
Можно поставить скобки.
Правописание и значение слова можно узнать в окне «Искать на Грамоте».
См. ответ № 227484.
Возможны оба варианта: правым и прав.
Действительно раздельно. Это можно проверить в нашем электронном орфографическом словаре (набрать в окне «Искать на Грамоте» кое-что, кое-кто).
Наименование должности директор пишется с маленькой буквы. С большой буквы пишутся только названия высших государственных должностей (и то лишь в текстах официальных документов).