Словарь показывает модель склонения для сочетания притяжательного прилагательного и существительного мужского рода (ср. Бабий Яр). Следовательно, первая часть топонима изменяется как притяжательное прилагательное мужского рода (так же, как прилагательное отцов), а вторая — как существительное мужского рода (так же, как существительное город): в Часовом Яре, под Часовым Яром.

Названия пород животных рекомендуется писать со строчной буквы и без кавычек, однако в правилах орфографии не представлены образные названия. Полагаем, что написание в кавычках (но со строчной буквы) возможно в тех случаях, когда адресат текста незнаком с таким названием, однако для осведомленного читателя можно писать без кавычек, ср.: анютины глазки (цветы).

Лучше всего: в промышленном районе Москвы. Употребление слова город – признак официально-деловой речи. Подробнее см. в «Горячей десятке вопросов».

Обратите внимание на строчную букву в слове промышленный. Названия районов пишутся с прописной как административно-территориальные единицы (например, Одинцовский район). Поскольку в Москве нет такой административно-территориальной единицы, как Промышленный район, верно написание со строчной.

Плохо звучат и создают труднопреодолимые грамматические и орфографические трудности все подобные официальные названия. Чтобы остаться в рамках норм русского языка, предлагаем такой вариант: окончил муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение муниципального образования город Омск – среднюю общеобразовательную школу № 4 имени Героя Сарабея. И проверьте, как пишется в соответствии с уставом последняя часть названия. 

Географические названия на -ов (-ев), -ово (-ево), -ин, -ино (-ыно) имеют в творительном падеже окончание -ом: Мышкин – Мышкином, Камышин – Камышином, Алексин – Алексином. В отличие от названий городов русские фамилии на -ин (-ын) и на -ов (-ев) имеют в творительном падеже единственного числа окончание -ым, ср.: Алексин (фамилия) – Алексиным и Алексин (город) – Алексином.

Правильно: в городе Нью-Йорке, в штате Нью-Йорк. Топонимы обычно не склоняются в сочетании с родовым словом штат. А вот в сочетании с родовым словом город топоним склоняется, если он русского, славянского происхождения или представляет собой (как в рассматриваемом примере) давно заимствованное и освоенное наименование. Такие названия можно считать исключениями из процитированного Вами правила (статья дополнена этим примечанием).

Правильно: курорт Золотые Пески. Справочник Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (7-е изд. М., 2005) фиксирует: курорт «Зеленый Мыс», курорт Карловы Вары, курорт Пицунда. Из этого можно сделать вывод, что употребление кавычек зависит от того, соотносится ли название курорта с географическим названием (Карловы Вары – курортный город), или же оно ближе к условному названию (курорт «Зеленый Мыс»).

Географическое название, употребленное с родовыми наименованиями город, село, деревня, хутор, река и др., выступающее в функции приложения, согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русского, славянского происхождения или представляет собой давно заимствованное и освоенное наименование: в с. Ермаковском. См. подробнее в «Письмовнике» наш материал «Как склонять географические названия?», там же приведен список источников.

В этом предложении предпочтительно двоеточие, так как вторая часть раскрывает, поясняет содержание первой. Однако в этих случаях правилами допускается и постановка тире: «В бессоюзном сложном предложении при обозначении пояснения, причины, обоснования, изъяснения допустимо употребление тире вместо двоеточия (особенно в художественной литературе и в публицистике). Вот, в частности, примеры из произведений К. Паустовского: Изредка в небе светилось голубоватое пятно — за тучками пробивалась луна, но тотчас гасла; Подснежники, наверное, уже прорастали в земле — их слабый травянистый запах просачивался сквозь снег; Слой облаков был очень тонок — сквозь него просвечивало солнце; На молу погасили огни — теплоход ушел; Татьяна Андреевна вздрагивала от сырости — после теплой каюты на палубе было свежо; Паханов крепко держал капитана за локоть — капитан был еще слаб после ранения; Ей хотелось заплакать — лом даже через варежки леденил руки; В армию меня тоже не берут — сердце заштопанное; Однажды зимой вышел я и слышу — стонет кто-то за оградой («Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник» под ред. В. В. Лопатина, прим. 2 к параграфу 129).

Действительно, запятая перед союзом и в заголовках, построенных по такой модели, не ставится: Самые ужасные начальники и как себя с ними вести. См. также 311144.