Прилагательное заработный буквально означает: за работу. Заработная плата = плата за работу (а не заработанная).
Возможны варианты написания: Рег. палата (графическое сокращение, произносится полностью) и Регпалата (аббревиатура, произносится сокращенно).
Тире не ставится, потому что нет оснований для его постановки.
Возможны варианты пунктуации: На пике своей активности, а точнее, после выборов молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее – после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. См. «Справочник по пунктуации» (примечание 3 к пункту 2).
Е-жик.
Ударение падает на второй слог: весОв.
Стремление к лексической лаконичности объяснимо, но может приводить к смысловой неясности, особенно в случае, когда речь идет о плате за тариф, а не о тарифе оплаты. Кешбэк выплачивают, начисляют, и, как представляется, именно глаголы готовы присоединить предложно-падежные сочетания, уточняющие условия получения кешбэка. Впрочем, оплата может быть разной, типичной и обычной, и выражения типа кешбэк за оплату картой не вызывают сомнений в их корректности. При этом понятно, что истоки такого оборота все равно глагольные: дать (что?) кешбэк (дать за что? при каком условии?) за оплату картой.
Название игрушки корректно записать как йо-йо.
Отвлеченные существительные (к которым относится и слово оплата) обычно не употребляются во множественном числе. Поэтому верно: различные формы оплаты.