Сочетание на Дне может вызвать нежелательные ассоциации. Лучше написать: наградят в День района или на праздновании Дня района.
Элементы адреса отделяются друг от друга запятыми: с. Усть-Чарышская Пристань, Усть-Пристанский район, Алтайский край (перечисление элементов); Алтайский край, Усть-Пристанский район, с. Усть-Чарышская Пристань (каждый следующий элемент уточняет предыдущий).
Если обстоятельственное сочетание среди зеленых холмов используется для конкретизации обстоятельства на морском побережье Уэльса (то есть для уточнения), поставленные запятые нужны. Если подразумевается, что морское побережье Уэльса находится среди зеленых холмов (что едва ли верно), запятые не нужны.
Орфографически правильно дефисное написание: Струги-Красные. Правило звучит так: пишутся через дефис названия, представляющие собой сочетание существительного с последующим прилагательным. Ср.: Петропавловск-Камчатский, Гусь-Хрустальный, Переславль-Залесский, Москва-Товарная (станция). Раздельное написание на дорожных указателях ошибочно.
Что касается написания прилагательного, то и оно пишется через дефис: струго-красненский (правило: пишутся через дефис прилагательные, образованные от пишущихся через дефис имен собственных, ср. санкт-петербургский от Санкт-Петербург, ленинск-кузнецкий от Ленинск-Кузнецкий). Обе части прилагательного пишутся с прописной, если оно начинает собой составное географическое или административно-территориальное название: Струго-Красненский район.
Да, такое написание зафиксировано в словаре.
Корректно: Гаврилово-Посадский район.
Пишем раздельно.
Да, нужно склонять.
Запятые уместны.
