Правильно: Островский район, хотя город Остров. Ср.: Белгород, но Белгородская область. Русский язык не любит, когда после ударного слога остается много безударных.
Ваше замечание справедливо. В районе в значении 'приблизительно' – разговорное употребление. В нейтральных контекстах лучше его избегать.
Все элементы адреса разделяются запятыми.
«Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010), адресованный работникам СМИ, фиксирует вариант Шальчининкский. В «Словаре географических названий» Е. А. Левашова (СПб., 2000) – два варианта: Шальчининкский (он отмечен как местный) и Шальчининкайский.
Верно: в Дмитровском и Звенигородском районах.
Правильно: Большая часть территории района малонаселённа.
Верно: (жить) в районе.
Тире ставится, если на его месте делается пауза. При отсутствии паузы тире не нужно.
