Корректно: в Гренаде (в государстве, ведь имеется в виду смена государственного строя; к тому же территория государства Гренада не ограничивается островом Гренада). Впрочем, если нужно подчеркнуть, что переворот случился именно в той части страны, которая расположена на острове Гренада, можно написать: на Гренаде.
Правильно слитное написание: восточноазиатские страны.
Верно: в Камбодже, из Камбоджи.
Написание правильное.
Правильно: один из лучших вузов страны.
При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре, определение, находящееся между числительным и существительным, чаще стоит в форме именительного падежа множественного числа: две (три, четыре) маленькие страны. Но и вариант две (три, четыре) маленьких страны возможен, это не ошибка.
Корректно: ...на обложке его настольной книги — чеховского "Острова Сахалин".
Орфографически правильно: Каймановы Острова. В соответствии с Общероссийским классификатором стран мира название страны – Острова Кайман.
В этом предложении запятые не нужны.
