Правильно: взять заём, не брать займа.
Мужская фамилия Заяц склоняется (Заяца и Зайца), женская — нет.
Да, названия стен и ворот вымышленного замка или крепости подчиняются правилу о написании топонимов.
Все слова в названии этой должности нужно писать строчными (маленькими) буквами.
Корректно: ...обеспечен.
Фамилию главного героя пьесы А. П. Чехова «Чайка» следует произносить как Треплев, с ударением на первый слог.
Форма заём употребляется только в именительном падеже ед. числа. Во всех остальных падежах в единственном и и множественном числе окончания присоединяются к основе займ-: займа, займу; займы, займов и т. д.
Женская фамилия Заяц не склоняется. Мужская может склоняться двояко: Заяца, Заяцу и Зайца, Зайцу. Носитель фамилии вправе выбрать тот или иной вариант склонения, но при этом важно придерживаться выбранного варианта во всех документах.
Правило звучит так: в составных названиях важнейших документов и сборников документов, государственных законов, а также архитектурных и других памятников, предметов и произведений искусства с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена. Но при этом начальное родовое наименование в подобных названиях архитектурных и других памятников, произведений искусства пишется со строчной буквы. Ср.: дворец Белосельских-Белозерских (дворец — родовое слово), но Дворец конгрессов, Дворец наций (Дворец — первое слово названия). Сложность как раз в том, чтобы определить границы имени собственного, не всегда это можно сделать легко и последовательно.
В приведенных Вами примерах корректно: палаццо Колонна, дворец Александра III в Массандре (ср.: Массандровский дворец), Арсенальная комната Царскосельского дворца (может, использовать современное название — Екатерининского?), парадная анфилада Царскосельского дворца, Малый Трианон, центральный вестибюль замка Шамбор, вилла «Черный лебедь», вилла «Ротонда».
Сложнее всего, кажется, с названием д/Дом ф/Фавна. Возможно написание дом Фавна (тем более в ряду перечисления других домов в Помпеях), но в условиях контекста может быть уместно использовать прописную как раз в первом слове, чтобы избежать модели «дом, принадлежащий...» и подчеркнуть, что речь идет о памятнике архитектуры.
