1. По правилам названия отделов, не являющихся собственными именами, пишутся со строчной буквы. Ср.: отдел кадров, сектор учета, ученый совет, художествен­ный совет, факультет журналистики, кафедра иностранных языков, сектор диалектологии, группа по контролю электронной системы. Сочетание научно-исследовательский институт в составе индивидуального названия института принято писать с заглавной буквы, например: Институт лингвистики. Отметим, что в официально-деловой речи названия крупных отделов различных учреждений часто пишут с прописной буквы, однако пока эта тенденция в правилах не отражена.

2. Сокращенные названия кафедр в кавычки заключать не нужно.

Такое задание в высшей степени некорректно, поскольку лучшие лингвисты-синтаксисты готовы полемизировать по поводу ответа. Но предпочтительным является вариант с включением слова капитан в состав подлежащего. Это слово (капитан) стало бы приложением к имени, если бы оказалось в постпозиции (где станет обособленным: Себастьян Кабот, испанский капитан...). Мы бы за такие задания (вернее, за умысел засчитать как ошибку включение / невключение капитана в состав подлежащего) отправляли в Южную Америку по следам капитана без обратного билета.

Проблема ведь еще и в том, что испанский — определение именно к капитану, а не к имени и не к сочетанию капитана и имени, иначе получится, что подразумевается, будто был испанский капитан Себастьян Кабот, а был еще, скажем, и португальский капитан Себастьян Кабот. Но тогда и это определение нужно включать в подлежащее, что уже совсем странно. Так что мы бы в конечном счете пришли к выводу, что подлежащее — капитан, а его имя — приложение к нему (такие приложения обособлять не обязательно). Но ни на одном сайте, о которых Вы упоминаете, оно не предусмотрено. Хотя любому человеку, хотя бы раз пытавшемуся разобраться с приложениями, известно, что в сочетаниях нарицательного и собственного имен приложением может быть и то, и другое, причем при одном и том же порядке слов. История с приложениями вообще крайне запутанна, противоречива и, по сути, теоретически не разработана.

В свою очередь — это грамматический фразеологизм. О них писали А. Баранов и Д. Добровольский в книге «Основы фразеологии». Грамматические фразеологизмы — это неоднословные выражения, которые с содержательной точки зрения характеризуются идиоматичностью значения (т. е. их план содержания не вычисляется по регулярным правилам) и которые связаны с нерегулярным выражением грамматических (в том числе модальных) смыслов и/или представляют собой сочетания различных служебных слов.

Такие фразеологизмы могут выполнять метатекстовые функции, вводить примеры и т. п. То есть роль члена предложения в данном случае — не критерий фразеологичности. Так же устроены тем не менее, по меньшей мере, чуть что, в том числе.

В задании сказано вставить предлог (а не предлог с существительным), поэтому вариант в годы не подходит под это условие. А в течение подходит.

Правильно: нарочным, с нарочным. Нарочный – имя существительное, его значение: 'тот, кто послан куда-л. со срочным известием, поручением; гонец, курьер' (отправить с нарочным = отправить с курьером). Слова нарочно, образованного от существительного нарочный, не существует; есть наречие нарочно ('с определенной целью; назло; для вида'), оно и зафиксировано в словарях.

С точки зрения нормы оба варианта представляются корректными. Но форма ед. ч. точнее по смыслу.

Выражение дорожная карта в значении "поэтапный план" корректно писать без кавычек, строчными буквами. Но и написание в кавычках не является ошибкой.

Выбор предлога объясняется только традицией.

Мы согласны с Вами: здесь возможны оба варианта. Запятая нужна, если фраза интонационно разбивается на две части.