Верный вариант расстановки знаков препинания: Наша забота привела к тому, что дом построили вовремя и, что очень важно, он обошёлся недорого. Вводное предложение что очень важно (употребляется для подчеркивания значимости какого-либо факта) выделяется с двух сторон запятыми; перед союзом и не ставится запятая, поскольку он соединяет две однородные придаточные части, зависящие от слова тому (союз что перед второй из них не повторяется).

При обычной интонации правильно: И радуешься, очень радуешься тому, что ты сейчас в городе, а не в деревне. Д. Э. Розенталь пишет: «Но если после повторяющегося слова или словосочетания с ним при чтении делается пауза, то после него ставится запятая и весь оборот оказывается выделенным с двух сторон запятыми (иногда — тире)». Таким образом, возможно: И радуешься — очень радуешься — тому, что ты сейчас в городе, а не в деревне.

Прежде всего: никакого подчинения в этом предложении нет. Слова потому и поэтому являются указательными местоименными наречиями, в данном предложении потому — обстоятельство причины.

Проще всего видеть в этом предложении простое с однородными сказуемыми. Однако любое предложение с однородными сказуемыми допустимо разбирать и как сложное. Во втором случае предложение характеризуется как сложное бессоюзное, обе части неполные (в обеих опущено подлежащее).

Да, ответ верен. Вот цитата из справочника по пунктуации под ред. В. В. Лопатина.

Тире ставится в предложениях, состоящих из двух компонентов со значением субъекта, объекта, обстоятельства (в разных сочетаниях) и построенных по схемам: «кто — кому», «кто — где», «что — кому», «что — куда», «что — как», «что — где», «что — за что» и др.: Учителя — школьникам; Журналисты — в горячих точках; Литературные премии — ветеранам; Учебники — детям; Все скважины — в строю; Оценки — за знания. Тире сохраняется и при перестановке частей: Вам — ключ от вуза.

Правило таково: «Перед закрывающей кавычкой не ставятся точка, запятая, точка с запятой, двоеточие, тире; по условиям контекста эти знаки ставятся после кавычки: В газете был напечатан рассказ Бунина «Легкое дыхание»; Рядом с зарницей стоит в одном поэтическом ряду слово «заря» – одно из прекраснейших слов русского языка (Пауст.)» [Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / под ред. В. В. Лопатина. Люб. изд. § 159, п. 2].

Нет, нормативное управление этого глагола — кланяться кому или без дополнения.

См., например: 

Большой толковый словарь русских глаголов

КЛАНЯТЬСЯ, несов. (сов. поклониться), кому и без доп. Проявлять (проявить) приветливое, дружеское отношение к кому-л., приветствуя при встрече наклоном головы, снятием шляпы [impf. (in this sense) to bow (to, before); to greet]. Директор любил поклоны, я же не любил и не умел кланяться, и кончилось тем, что я должен был оставить службу. Егор Иванович, увидев бабушку, поклонился ей и почувствовал себя виноватым, что так редко приезжал домой.