Правильно слитное написание, кавычки не нужны: сюда лучше приезжать в несезон.
В школе при синтаксическом разборе предложения для выделения предлогов используются разные приемы. Предлог может подчеркиваться так же, как член предложения, к которому он относится. Например, в приведенном Вами предложении сочетание в продолжение времени является обстоятельством, его можно подчеркнуть тире с точками. Другой распространенный вариант – заключение предлогов в треугольник. Конечно, треугольник в данном случае получается весьма кривой.
Верно: Сотрудники, имеющие право доступа в помещения, в которых установлены терминалы.
Запятую можно поставить, если рассматривать слова в семье инженера и врача как присоединительный оборот (содержащий попутное пояснение).
Словарная фиксация – Артек (без кавычек). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012. Без кавычек это название дается и в «Толковом словаре языка Совдепии» (СПб., 1998).
Кавычки уместны, если есть родовое слово: международный детский центр «Артек».
См. в «Справочнике по пунктуации».
Верно: ...городке, окончательно умершем в перестройку.
Фраза не вполне ясна. Возможно, ее следует перестроить, и слова в своем роде обособляться не будут: США оказались в своем роде заложниками ситуации.
Указанная запятая нужна.
