Это примеры неполных предложений (в данном случае пропущена грамматическая основа мы вручим). Такие предложения обычно читаются с паузой на месте пропуска, на письме она обозначается знаком тире. В редких случаях пауза при чтении не возникает, и тогда тире не нужно: Егорушка долго оглядывал его, а он Егорушку (Ч.); Из нашей батареи только Солёный пойдёт на барже, мы же со строевой частью (Ч.) и т. д. Полагаем, в Вашем случае неполные предложения прочитать без паузы затруднительно, а потому тире требуется: Мы не устаём вручать вам подарки. Ещё два — уже в понедельник. Второй — главному везунчику.

Слово библиотекарист не зафиксировано нормативными словарями современного русского литературного языка и не встречается вне контекста наименования недавно переведенного на русский язык романа Патрика де Витта. Можем предполжить, что такое наименование было выбрано затем, чтобы не возникало путаницы с романом Михаила Елизарова "Библиотекарь" (2012). При этом стоит отметить, что существительное библиотекарист отнюдь не противоречит тенденциям в развитии языка: суффикс -ист под ударением при добавлении к основе существительного образует существительное со значением «тот, кто связан с указанной в основе деятельностью, профессией, орудием или материалом труда» ◆ футбол → футболист, футболистка ◆ трактор → тракторист, трактористка ◆ филателия → филателист, филателистка и т. п.

Правильно: борсетка. Только такой вариант зафиксирован в академическом орфографическом словаре, а он главный при решении орфографических вопросов (другие словари могут отражать колебания в написании, которые испытывает слово, осваиваясь в языке).

Вы написали правильно: Акции "Мать и дитя" снизились в ходе торгов на Московской бирже; Она устроилась на работу в "Мать и дитя". 

Корректно: Нужно различать слова, схожие по звучанию, но отличающиеся по значению, в зависимости от которого в них может писаться ПРИ или ПРЕ. 

В данном случае корректен только один вариант написания: моя ундина (со строчной буквы и без кавычек). Здесь слово ундина — синоним слова русалка. Постановка/непостановка кавычек зависит от контекста, в котором Вы собираетесь употребить это слово. Например: девушка, которую Печорин зовет "ундиной". Здесь кавычки будут служить маркером чужих слов. 

Сочетание ничего страшного, как и его свернутый вариант ничего, в качестве самостоятельного высказывания представляет собой синтаксический фразеологизм (нечленимое предложение); подобные единицы описаны, в частности, в «Синтаксическом фразеологическом словаре» В. Ю. Меликяна. Союз если свидетельствует о том, что этот синтаксический фразеологизм включен в состав сложноподчиненного предложения, а между частями сложноподчиненного предложения ставится запятая по общему правилу: Ничего, если я не останусь на ночь?

«Большая российская энциклопедия» — издание, которое создается под эгидой Российской академии наук, то есть авторитет его достаточно высок.

Корректен только вариант: УЗ-установка.  

Верно с одной точкой после вопросительного и восклицательного знаков:
— Что за?!.

См. также ответы на вопросы 270133 и 310250.