Да, склоняются.
Кавычки нужны, Вы написали верно.
Это словарное слово. Написание проверяется по орфографическому словарю (а объясняется написанием в языке-источнике: фр. métropolitain от chemin de fer métropolitain «столичная железная дорога»).
Корректно: Крикнул на татами «Хаджиме!» судья.
Верно: в период.
Запятая нужна: Я не понимаю, что вокруг меня происходит. Запятая ставится между главным и придаточным предложением в составе сложноподчиненного.
См. в словарях.
Да, есть ошибка в употреблении деепричастного оборота. Предложение надо перестроить. Например: Сравнивая цены, мы часто выбираем онлайн-магазины.
Написание зависит от смысла. Если подчеркивается отсутствие красоты, то следует писать раздельно. Если утверждается непривлекательность, то слитно.
Ошибки нет.
