Лучше: мы продолжаем проводить мероприятие...
Кошена — это причастие. Не с краткими причастиями пишется раздельно.
Да, в этом случае Долина следует писать с большой буквы.
Нет, больше никаких знаков ставить не нужно.
Тире после открывающих кавычек не нужно.
Тире не ставится, так как подлежащее выражено личным местоимением, а сказуемое — существительным в именительном падеже. Правило можно посмотреть здесь.
Если речь идет о творческом коллективе художников (Куприянов, Крылов, Соколов), кавычки не нужны. Кукрыниксы – псевдоним. Псевдонимы, так же как и личные имена, отчества, фамилии, прозвища, не заключаются в кавычки.
Если имеется в виду российская рок-группа «Кукрыниксы», кавычки нужны.
Запятую нужно поставить между частями сложного предложения: Всё проверили, и вот что удалось выяснить: <...>.
По-видимому, это название образовано как сокращение сочетания экономный карман. Сложносокращенные слова пишутся слитно, немногочисленные исключения — через дефис. См. также здесь.
В обоих случаях фамилия должна склоняться. Правило см. в «Письмовнике» (пункт 13.1.11).
