Глагол барражировать вряд ли можно отнести к общеупотребительным. Он фиксируется в словарях литературного языка только в значениях, известных главным образом военным. Переносное значение, в котором слово употреблено в Вашем предложении, может быть непонятно, может вызвать дискомфорт у читателя. Но те, кто знаком с этим глаголом, вероятно, воспримут эту фразу как языковую игру: барражирует по проспекту – прохаживается, словно охраняя какую-то территорию. 

Удалить в значении 'устранить что-л. оперативным путём; вырезать' – слово, характерное для медицинской речи. С ним такое неточное, разговорное употребление вряд ли возможно, поэтому корректно: удалить опухоль. 

Слово рак вместо опухоль может использоваться в разговорной речи, но с другими глаголами, в первую очередь –  вырезать.  Ср.: Месяца два назад у его сестры вырезали рак, и теперь все ждали возврата болезни (А. Чехов, Три года).

Всё верно. Правило очень простое: предлог об в предложном падеже употребляется со словами, начинающимися гласными, предлог о – со словами, начинающимися согласными.  Буквы Е, Ё, Ю, Я обозначают в начале слова два звука: согласный звук [j] и гласный звук соответственно [э], [о], [у], [а], т. е. имена Егор, Юлия, Яна начинаются с согласного звука [j], поэтому перед ними употребляется предлог о. 

Пунктуация зависит от того, есть ли у слов в будущее значение уточнения или пояснения. Такое значение может появиться при соответствующей интонации. Если такой интонации нет, то и пояснения и уточнения в данном случае нет.

Сравните с аналогичным примером из дневников И. А. Бунина: Он говорит, что Белый ненавидит большевиков, только боится, как и Ремизов, стать эмигрантом, отрезать себе путь назад в Россию.

Основания для выделения корня -врат-, на наш взгляд, есть. Корень легко выделяется при сопоставлении со словами отвращать, превращать, извращать. У этих слов можно выделить и общий смысловой компонент, носителем которого является корень, — это идея поворота, изменения направления, формы. Орфография также рассматривает основу данных глаголов как членимую, ср. словарные статьи в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря» для слов извратить, превратить, поворот. 

Названия мероприятий со словом неделя пишутся без кавычек, так как не выделяются кавычками собственные наименования, если они не имеют условного характера (например, Российский государственный гуманитарный университет, Московский театр кукол, Институт языкознания Российской академии наук). У слова неделя фиксируется значение 'семидневный промежуток времени, посвящённый чему-л., какому-л. событию'. Ср. с названиями, закрепленными в словаре. В сочетании названия (как несклоняемого приложения) с родовым словом кавычки уместны.

В словарях русских личных имен (см., например: Суперанская А. В. Словарь личных имен. М., 2013) указывается, что это варианты одного и того же имени. Даниил – церковная форма, Данила – гражданская (светская). Но юридически это разные имена: если у человека в одних документах имя будет указано как Данила, в других – как Даниил, придется доказывать, что речь идет об одном человеке. Написание должно быть единообразным.

Выбор предлога зависит от значения слова "лоджия" (ср. 1 и 2, в последнем примере возможен предлог "на") и от предшествующего глагола.

ЛОДЖИЯ, -и; ж. [итал. loggia]
1. Здание, помещение, у которого вместо наружной стены открытая колоннада, решётка или парапет. Выставка устроена в лоджии.
2. Глубокая ниша в фасаде здания, используемая как балкон. Въехать в квартиру с лоджией. Застеклить лоджию. Поставить стол в лоджии.

Это слова из стихотворения Е. А. Баратынского «Муза»:

Не ослеплен я музою моею:
Красавицей ее не назовут,
И юноши, узрев ее, за нею
Влюбленною толпой не побегут.
Приманивать изысканным убором,
Игрою глаз, блестящим разговором
Ни склонности у ней, ни дара нет;
Но поражен бывает мельком свет
Ее лица необщим выраженьем,
Ее речей спокойной простотой;
И он, скорей чем едким осужденьем,
Ее почтит небрежной похвалой.

Начнем со второго вопроса. Очевидно, что конструкция ненормативная, стилистически сниженная, т. е. встречающаяся в разговорной речи. В письменной речи она нежелательна из-за трудности ее восприятия. Читающий может подумать, что писавший просто не туда поставил запятую. Но если у пишущего есть задача передать стилистику разговорной речи (например, в речи персонажа), то представляется, что лучше в данном случае поставить вместо запятой тире.